calculo integral

antiderivas

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces , F(x) = x3, es una antiderivada de Observe que no existe una derivada única para cada función. por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

integrales definidas

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integrales definidas

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

teorema fundamental del calculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo $[a, b]$ , definimos F sobre $[a, b]$ por $F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}$ . Si f es continua en $c \in (a,b)$ , entonces F es derivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

sumatoria de riemann

una función $f:[D]\rightarrow\mathbb{R}$

donde D es un subconjunto de los números reales $\mathbb{R}$

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, x₂, ... x_n} tales que a = x₀ < x₁ < x₂ ... < x_n = b

crean una partición de I

P = {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

$S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})$

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo es arbitraria.

Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

\sum_{i=100}^{300}=6_i(4_i+2_i^2)

formulas
i= n(n+1)/2
i2=n(n+1)(2n+1)/6
i3=n2(n2+2n+1)/4
i4=n(n+1)(6n3+9n2+n-1)/30

figuras inscritas y circunscritas

En geometría elemental se deducen fórmulas para las área de muchas figuras planas, pero un poco de reflexión hace ver que raramente se da una definición aceptable de área, el área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en una región, pero por ejemplo el círculo de radio unidad tiene por área el número irracional

pero no está claro cual es el significado de

cuadrados.

En general se tiene la percepción intuitiva de que una región contenida dentro de una curva cerrada posee un "área" la cual mide el número de unidades cuadradas dentro de la curva. Las propiedades básicas del área que la intuición sugiere son:

El área es un número (positivo, dependiente de la elección de la unidad de longitud.
Este número es el mismo para figuras congruentes.
Para todos los rectángulos es el producto de las longitudes de los lados adyacentes.
Para una región descompuesta en secciones el área total es igual a la suma de las áreas de las secciones..

Una consecuencia inmediata es el hecho de que: para una región A que es parte de una región B el área de A no puede ser mayor que el área de B.

Estas propiedades permiten el cálculo directo del área de cualquier figura que pueda ser descompuesta en un número finito de rectángulos. Más generalmente para asignar un valor S al área de una región R (zona azul y roja) consideramos otras dos regiones R’ (inscrita zona azul)) y R’’ (circunscrita, zona azul más roja más amarilla) de áreas S’ y S’’ respectivamente y que se pueden descomponer en rectángulos donde R’’ contiene a R y R’ está contenido en R . Se sabe al menos que S’<S<S’’. El valor de S quedará completamente determinado si se encuentran sucesiones de regiones circunscritas

y regiones inscritas

que puedan ambas descomponerse en rectángulos y tales que las áreas

tengan el mismo límite cuando n tiende a infinito. Esto es remontándonos a la antigüedad, el método de exhaución y el cual es usado en geometría elemental para el área de un circulo. La formulación precisa de esta idea, nos conduce ahora a la noción de integral.