En geometría elemental se deducen fórmulas para las área de
muchas figuras planas, pero un poco de reflexión hace ver que raramente se da
una definición aceptable de área, el área de una región se define a veces
como el número de cuadrados de lado unidad que caben en una región, pero por
ejemplo el círculo de radio unidad tiene por área el número irracional
pero no está claro cual es el significado de cuadrados.
En general se tiene la percepción intuitiva de que una
región contenida dentro de una curva cerrada posee un "área"
la cual mide el número de unidades cuadradas dentro de la curva. Las
propiedades básicas del área que la intuición sugiere son:
-
El área es un número (positivo, dependiente de la elección de la unidad de longitud.
-
Este número es el mismo para figuras congruentes.
-
Para todos los rectángulos es el producto de las longitudes de los lados adyacentes.
-
Para una región descompuesta en secciones el área total es igual a la suma de las áreas de las secciones..
Una consecuencia inmediata es el hecho de que: para una
región A que es parte de una región B el área de A
no puede ser mayor que el área de B.
Estas propiedades permiten el cálculo directo del área de cualquier figura
que pueda ser descompuesta en un número finito de rectángulos. Más
generalmente para asignar un valor S al área de una región R (zona
azul y roja) consideramos otras dos regiones R’ (inscrita zona
azul)) y R’’ (circunscrita, zona azul más roja más amarilla)
de áreas S’ y S’’ respectivamente y que se pueden
descomponer en rectángulos donde R’’ contiene a R y
R’ está contenido en R . Se sabe al menos que S’<S<S’’.
El valor de S quedará completamente determinado si se
encuentran sucesiones de regiones circunscritas
y regiones inscritas
que puedan ambas descomponerse en rectángulos y tales que las áreas
y tengan el mismo
límite cuando n tiende a infinito. Esto es remontándonos a la antigüedad, el
método de exhaución y el cual es usado en geometría elemental para el área
de un circulo. La formulación precisa de esta idea, nos conduce ahora a la
noción de integral.
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